In dieser kleinen Abhandlung werde ich zeigen, wie ein Element der Kobayashi-Maskawa-Mischungs-Matrix (KM-Matrix) mit Hilfe der Massen von d- und s-Quark und ein weiteres Element durch zwei andere der Matrix berechnet werden kann. Die linkshändigen Quarkdubletts koppeln nicht
in ihrer reinen Form
an die
Austauschbosonen, sondern die oberer oder untere Komponente (das ist Konventionssache) liegt in gemischter Form vor (man wählt oft die untere)
Wobei die Mischung durch die unitäre Kobayashi-Maskawa-Mischungs-Matrix (KM-Matrix)
beschrieben wird. Es gilt also
Die Unitarität bewirkt die Erhaltung der Gesamtwahrscheinlichkeit. Es gilt also
mit
wobei
die komplex konjugierte Matrix von V ist. Eine beliebig komplexe 3x3-Matrix ist durch 18 Parameter bestimmt. Die Unitaritätsbedingung reduziert diese auf 9 reelle Parameter. Die Wellenfunktionen von u,d,c,s,t,b absorbieren noch 5 Phasen, so dass V durch 4 reelle Parameter beschrieben werden kann. Man wählt z.B. folgende Parametrisierung.
Dabei bedeutet z.B.
Messungen ergeben für die Beträge
Die Phase
ist übrigens für die
CP-Verletzung verantwortlich zu machen. Wir werden im Folgenden für die
gemischten Quarkzustände eine nichtdiagonale Massenmatrix ansetzen. Diese
Massenmatrix wird durch die unitäre Transformation von V diagonalisiert, so
dass man eine diagonale Massenmatrix für die reinen, ungemischten Quarkzustände
erhält. Zu beachten sind die Größenordnungen der Winkel für später
anfallende Näherungen. Der Kosinus ist mit 1 verträglich (bei kleinen
Winkeln). Die Winkel (bzw. der Sinus der Winkel) sind bezüglich der Reihenfolge
ihrer Größe folgendermaßen anzusetzen:
Nun machen wir mit Hilfe des Massenoperators folgenden Ansatz für den Massenteil der
Lagrangefunktion gemischten Quarkwellenfunktion:
Wir spalten durch eine Exponentialfunktion
eine Massenmatrix ab
Wir machen nun folgenden Ansatz für V, in dem grob nur die größten Terme berücksichtigt werden:
Die Massenmatrix muss hermitisch sein. Weiterhin würden 3 Parameter für 3 Quarkmassen genügen, wir wählen jedoch diesen Ansatz (Begründung folgt später). Wir setzen V ein und erhalten
ähnlich wie bei den Winkeln setzen wir folgende Größenordnung an (wir wissen ja, dass die
33-Komponente der Massenmatrix etwas mit dem b-Quark zu tun haben muss, welches das schwerste im Quarkmultiplett ist).
Dieser Ansatz der Massenmatrix für die gemischten Quarkzustände soll uns mit Hilfe der KM-Matrix
auf die diagonale Massenmatrix für das „reine“ d-,s- und b-Quark führen.
Durch Vergleich beider Lagrangedichten erhalten wir also 15, nicht alle voneinander unabhängige,
Gleichungen. Es werden nur die Terme höchster Ordnung berücksichtigt.
Dabei wurden immer nur die größten Terme berücksichtigt. In aller Strenge lässt sich die
Richtigkeit der Abschätzung nur durchführen, wenn man die gleich gefundenen
Endergebnisse berücksichtigt. Wir erhalten 6 unabhängige Gleichungen:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Mit Hilfe von 4) ergibt sich für 1
Und 5) und 6) ergeben
Etwas seltsam erschein, dass eine der beiden Massen von s- bzw. d-Quark negativ sein muss. Dafür
kann ich jetzt noch keine Erklärung präsentieren. Das Verhältnis von s- zu d-Quark ist:
Was in sehr guter übereinstimmung mit dem Experiment steht, denn die Masse des d-Quarks liegt nach derzeitigen
Messungen zwischen 4-8 MeV und die des s-Quark zwischen 80-130 MeV:
Der Mittelwert liegt genau bei 21. Des weiteren erhalten wir eine Vorhersage für
, wenn die anderen beiden Winkel bekannt sind:
Das liegt noch
innerhalb der Messfehler, wenn auch an der unteren Grenze. Interessant wäre es, die höheren Ordnungen der Berechnung zu berücksichtigen, um die anderen Matrixelemente der Kobayashi-Maskawa-Mischungs-Matrix zu bestimmen. Dazu mehr in einer späteren Veröffentlichung.
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