Wir wollen nun die Bewegungsgleichungen (erweiterte Klein-Gordon-Gleichung) aus einer Lagrangedichte für Wellenfunktion mit explizierter
-Abhängigkeit herleiten. Unsere Lagrangedichte soll aus folgenden Bestandteilen zusammengebastelt werden:
Sie soll also von einer Wellenfunktion, die von den Viererkoordinaten und
abhängt und der Ableitung der
Wellenfunktion nach den Viererkoordinaten bzw.
abhängen. Um auf die Bewegungsgleichungen zu kommen, müssen wir das Wirkungsintegral variieren (die Variation verwende ich mathematisch etwas unsauber wie ein Differential - ich
bin mir der Prügel der Mathematiker bewusst):
Die Integration erstreckt sich über den gesamten vierdimensionalen Raum V
4 und V mit
Variieren wir:
Nutzen wir die Vertauschbarkeit der Variation mit der partiellen Ableitung, also
erhalten wir
Oben eingesetzt
Wir integrieren den zweiten und dritten Term partiell und beachten dabei, dass die Variationen von
an den Integrationsgrenzen verschwinden:
Die Gleichung ist nur dann für beliebige Variationen von
erfüllt, wenn der Klammerausdruck verschwindet:
Als nächstes suchen wir einen Ausdruck für die Lagrangedichte, der auf die richtige verallgemeinerte Klein-Gordon-Gleichung führt.
Wir machen einfach mal den Ansatz (man beachte, dass noch eine Konstante multiplikativ hinzugefügt werden kann, damit L die richtigen Einheiten
bekommt).
Variation nach
* ergibt die weiter oben eingeführte verallgemeinerte Klein-Gordon-Gleichung
Das ist trockener Formalismus. Interessant wird es, wenn
wir mit Hilfe des Energie-Impuls-Tensors zeigen können, dass es eine Art
Massendichte gibt, die mit dem Massenoperator zu begründen ist. Dazu später
mehr, zuerst müssen wir zeigen, dass sich mit dem Massenoperator auch der gute
alte Energie-Impuls-Tensor ergibt. Wir betrachten nun eine Translationsinvarianz,
d.h. eine infenitesimale Verschiebung der Vierekoordinaten
bzw.
Dabei ändert sich die Lagrangedichte um
oder bezüglich
um
Die Variation von
ist gegeben durch
und die von der Ableitung von
durch
bzw.
Damit ergibt sich für die Variation von L
Wir verwenden nun die oben gefundene Lagrangegleichung
und erhalten das Formelmonster
Man kann zusammenfassen, wenn man die Vertauschbarkeit der Ableitungen berücksichtigt:
Setzen wir dies gleich mit
folgt
Wie (fast) üblich gewinnt man daraus Erhaltungsgrößen für Energie und Impuls,
wenn man über das dreidimensionale Volumen, und das ist neu, auch über
integriert
Der letzte Term verschwindet, da die Wellenfunktion an den Integrationsgrenzen verschwindet, also
oder
Daraus ergibt sich der Energie-ImpulsTensor
Jetzt wenden wir den Formalismus auf die Translationsinvarianz von
an und schauen, was sich für eine Erhaltungsgröße daraus ergibt.
bzw.
Dabei ändert sich die Lagrangedichte um
oder bezüglich
um
Die Variation von
ist gegeben durch
und die von den Ableitungen von
durch
bzw.
Damit ergibt sich für die Variation von L
Wir verwenden wieder die Lagrangegleichung
und erhalten wiederum ein Formelmonster:
Man kann einige Terme zusammenfassen:
Setzen wir dies gleich mit
folgt
Wie (fast) üblich gewinnt man daraus Erhaltungsgrößen für Energie und Impuls, wenn man über das dreidimensionale Volumen und über
integriert
Es bleibt ein Erhaltungssatz für den Tensor, da der
zweite Term an den Integrationsgrenzen für
verschwindet
Wir wollen die T
0 – Komponente für die Lagrangedichte der verallgemeinerten Klein-Gordon-Gleichung
anwenden. Die freie Lösung für die veralldemeinerte Klein-Gordon-Gleichung lautet
Dabei ist m die Ruhemasse des teilchens, E seine Energie und p der Impuls. Es folgt
Vergleichen wir das Ergebnis für die Energie-Komponente des Energie-Impuls-Tensors:
Bei T
0 handelt es sich offenbar um die Massendichten eines Teilchens.
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