Um es möglichst einfach zu machen, reduzieren wir die Dimension zunächst von vier
auf zwei. Betrachten wir eine Ebene, z.B. die unseres Schreibtisches.
Wenn wir einen Punkt auf unserem Schreibtisch beschreiben wollen, z.B. den Ort
unseres abgelegten Kaugummis, so denken wir uns zwei Koordinatenachsen. Die x-Achse wird
durch die Tischlänge und die y-Achse durch die Tischbreite repräsentiert. x-
und y-Achse treffen sich in der linken unteren Ecke des Tischs, im
Koordinatenursprung. Wir können den klebrigen Kaugummi nun genau lokalisieren,
wenn wir den x- und y-Wert an den beiden Tischkannten ablesen. Der x-Wert wird
z.B. ermittelt, in dem man das Lot auf die x-Achse fällt, also eine Gerade vom
Kaugummi zur x-Achse zieht, wobei diese Gerade die x-Achse im rechten Winkel
schneidet. Der Schnittpunkt der Gerade mit der x-Achse gibt uns den x-Wert an.
Gleiches gilt für den y-Wert.
Der Ort des Kaugummis lässt sich also durch das Koordinatenpaar
beschreiben. Verschieben wir unser Kaugummi, so ändern sich die Koordinaten x und y. Wir
wollen nur kleine Verschiebungen betrachten (jede größere Verschiebung kann
man ja aus beliebig vielen kleinen Verschiebungen zusammensetzen). Eine kleine
(genauer infinitesimal kleine) Verschiebung in x-Richtung bezeichnen wir mit dx
(entsprechendes gilt für y). Eine Verschiebung kann positiv oder negativ sein,
je nachdem in welche Richtung man entlang der x-Achse verschiebt. Und schon sind
wir in der Lage eine Vorstufe des vierdimensionalen Wegelements zu formulieren
(sozusagen das zweidimensionale Wegelement).
Anmerkung:
Es ist empfehlenswert, einen etwas längeren, vielleicht auch etwas langweiligeren Weg
zu gehen, um die Dinge von der Wurzel auf zu verstehen (und nur so versteht man
sie), als später in dauerhaften Frust zu verfallen, weil man irgendwo den Faden
verloren hat.
Die Verschiebung unseres Kaugummis können wir also durch den Verschiebungsvektor
beschreiben (das ist aber nicht die neue Position des Kaugummis!). Die
neue Position des Kaugummis, sofern er nicht schon unverschiebbar angetrocknet
ist, lautet also
Nun aber zurück zu unserem zweidimensionalen Wegelement ds. Dieses wird einfach folgendermaßen definiert (über sein Quadrat):
Wir hätten auch schreiben können
Die Minuszeichen sollen uns nicht stören, der tiefer
Sinn wird später, sehr viel später klar, es ist.....ist, einfach nur sagen wir
eine Definitionssache. Nun zu einem anderen Beispiel, welches uns näher an die Raumkrümmung, also an die AR
heranbringt. Wir wollen einen Kreis beschreiben und gehen wieder von unserem oben eingeführten
Koordinatensystem aus.
Nun wollen wir entlang des Kreisrandes wandern. Eine Verschiebung entlang des
Kreisrandes, wird wieder durch den Verschiebungsvektor
beschrieben. Der findige Kurvenfahrer wird jetzt schon mit seinem Zeigefinger auf dem Weg in
Richtung Stirn sein, denn das ganze geht auch einfacher. Um die Wanderung
entlang des Kreises zu beschreiben, benötigt man nur eine Koordinate, nämlich
den Winkel alpha (der Radius r soll ja unverändert bleiben). Es bieten sich folgende Koordinatentransformation
an:
Nun wollen wir uns wieder das zweidimensionale Wegelement zusammenbasteln. Es gilt
(dazu benötigt man etwas Differentialrechnung) für eine kleine Verschiebung
und somit nach Quadrierung und Zusammenfassung
Durch eine einfache Koordinatentransformation gelangt man zu einem verwandelten
ds
2. Wozu das Ganze? Man lernt etwas Handwerkszeug im Umgang mit dem
in der AR so wichtigen Wegelement. Vor der Winkelverschiebung steht ein r
2. D.h., die „Vorfaktoren“ der Verschiebungsquadrate können selbst von den Koordinaten abhängen. Man spricht von krummlinigen Koordinaten. Es ist völlig gleichgültig, in welchem Koordinatensystem (oder besser Koordinatenpaar (x,y) oder (r, alpha) ))
man rechnet, der Wert des Wegelements bleibt unverändert. Man sagt ds
2
ist invariant gegenüber Koordinatentransformationen (ein strenger Beweis
bleibt hier aus). Für bestimmte Problemstellungen eignen sich
gewisse Koordinatensysteme besser als andere, d.h. sie vereinfachen einem die
Rechnerei. Möchte man die Sonne beschreiben, wird man dies gewiss in Kugel- und
nicht in Zylinderkoordinaten tun.
In der Tat werden wir feststellen, dass Gravitation nur dann vorliegt, wenn die
„Vorfaktoren“ koordinatenabhängig sind. Der Umkehrschluß gilt natürlich
nicht, wie wir gesehen haben, denn nur durch die Einführung von
Kreiskoordinaten haben wir noch lange kein Gravitationsfeld erzeugt. Im
nächsten Kapitel wird es gleich deutlich spannender, da wir uns zum ersten mal
mit dem „vierdimensionalen“ Wegelement auseinandersetzen werden. Auch werden
wir etwas mehr Ordnung in das mathematische Vokabelheft bringen müssen. Die
„Vorfaktoren“ werden wir als Komponenten eines Tensors
identifizieren, dem Metriktensor. In ihm schlummern die Eigenschaften
eines jeden Gravitationsfeldes
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Relativitätstheorie