Einsteins Erben - Die Allgemeine Relativitaetstheorie - das Wegelement, mathematische Betrachtungen

Zunächst muss ich erst einmal etwas richtig stellen. Das Wegelement ds ist weder vierdimensional noch zweidimensional. Es ist eine skalare Größe (d.h. es ändert seinen Wert nicht bei Koordinatentransformationen). Wenn ich vom n-dimensionalen Wegelement spreche, meine ich damit, dass sich dieses Wegelement aus n Koordinaten zusammensetzt. Nun springen wir doch gleich von n=2 auf n=4.

Tataaaa. Nicht viel passiert!? In der Tat nicht. Wir haben lediglich eine z-Koordinate und, ganz wichtig, eine Zeitkoordinate hinzugefügt. Widmen wir uns noch ein wenig dem Vorfaktor c². Vor dt² steht die Lichtgeschwindigkeit zum Quadrat. Mein alter Professor hatte in solchen Fällen des Erklärungsnotstands immer eine einfache Antwort parat: Das c² muss da stehen, damit die Einheiten stimmen. So ist es auch. Die Verschiebung dx² hat die Einheit m², und somit auch der Ausdruck

Deshalb interpretiert man c² nicht als Vorfaktor. Das Produkt aus der Lichtgeschwindigkeit c und der Zeit t (ct) ist die vierte Koordinate im Bunde (neben den drei Koordinaten x, y und z).

Ich arbeite noch an einen akustisch animierten Trommelwirbel an dieser Stelle, denn jetzt wird es spannend. Irgendwie hat es Einstein ja geschafft mit diesem Wegelement die Gravitation(skraft) zu beschreiben. Wir wollen mal sehen, was unser Wegelement zu einer schwindelerregenden Kurvenfahrt sagt. Nehmen wir an, dass eine Schumi-Imitation in der x,y-Ebene seine Runden dreht, Luftsprünge in z-Richtung werden also ausgeschlossen, d.h.

Aus unserem Kreisbeispiel kennen wir schon die Gestalt der Kreiskoordinaten, nur dass sich der Winkel mit der Zeit t ändert, also

Da unser Rennfahrer erfahren genug ist, sich nicht aus der Kurve tragen zu lassen, ändert sich der Radius des Kreises nicht, also

Tragen wir alles in Vektor-Form zusammen:

oder für den Verschiebungsvektor

Bilden wir nun das Skalarprodukt des Verschiebungsvektors mit sich selbst, gelangen wir zu unserem Wegelement (das Zusammenfassen der verschiedenen Therme bleibt eine kleine Hausaufgabe).

Der Ausdruck oder Vorfaktor

sieht etwas seltsam aus. Lüften wir sein Geheimnis. Man ahnt es schon lange, das ständige im Kreis-Herum zerrt einen nach außen, und dafür ist die Zentrifugalkraft

verantwortlich. Das Potential V der Zentrifugalkraft lautet

Durch Ableiten von V nach dem Radius r gelangt man zur Kraft F. Das Potential sieht dem Vorfaktor verdammt ähnlich, denn leiten wir

nach r ab, erhalten wir

also fast die Zentrifugalkraft. Es fehlt lediglich die Masse m, der Faktor 2 und das c² im Nenner stört. Mathematische Kinkerlitzchen. Leider wieder einmal später werden sich diese geringfügigen Ungereimtheiten in verständiges Wohlgefallen auflösen. Halten wir fest:

Im „vierdimensionalen“ Wegelement taucht das Potential der Zentrifugalkraft auf, wenn man von einem gleichförmig rotierenden Koordinatensystem ausgeht. Nun kann man die mutige Vermutung äußern: Gilt das denn auch für das Gravitationspotential? Die Antwort lautet ja. Doch vorher müssen wir noch im Tensor-Pool ein kaltes Bad nehmen. Es wird gleich unvermeidbar trocken.